• Обзоры

Преобразования на плоскости и в пространстве

Формирование изображения и разнообразные действия с ним требуют от пользователя известной математической грамотности. Геометрические понятия, формулы и факты, относящиеся к плоскому и трехмерному случаям, играют в задачах компьютерной графики особую роль. Принципы аналитической геометрии в соединении с постоянно расширяющимися возможностями вычислительной техники являются неиссякаемым источником существенных продвижений на пути развития компьютерной графики, ее эффективного использования в САПР.

 Растровые и векторные изображения

Различают два вида изображений: растровые и векторные.
Растровое изображение состоит из множества точек – пикселей (от англ. pixel – PIcture  ELement), каждый пиксель имеет определенный цвет. Чем плотнее расположены пиксели, чем меньше их размеры и чем большее количество цветов, тем выше качество картинки. Примеры растровых изображений: офсетная (газетная) печать, изображение на экране компьютера, сканированный рисунок. При хорошей разрешающей способности устройств графического вывода достигается очень высокое качество растровых изображений, но, к сожалению, работа с ними крайне неудобна, а при масштабировании качество теряется.
         Векторное изображение в простейшем случае состоит не из точек, а из множества отрезков прямых, заданных координатами их концов. Такое изображение легко масштабируется без потери качества и легко поддается обработке. Практически во всех графических пакетах, используемых в САПР, информация представляется в векторном виде.

 Аффинные преобразования на плоскости

          Допустим, на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке M ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (x, y) ее координат (рис. 1). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, поставим в соответствие той же точке M другую пару чисел – (x*, y*).

Рис. 1

 Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:

                                          (*)

где    – произвольные числа, связанные неравенством:

                                       

         В дальнейшем будем рассматривать формулы (*) как правило, согласно которому в заданной системе координат преобразуются точки плоскости.

         В аффинных преобразованиях особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики.

Рис. 2 

 А. Поворот вокруг начальной точки на угол j  (рис. 2а) описывается формулами

                                           
      
Б. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей (рис. 2б) можно задать так:

                                        

В. Отражение относительно оси абсцисс (рис. 2в) задается при помощи формул

                                        

Г. Перенос (рис. 2г) обеспечивают соотношения

                                        

         Как доказывается в курсе аналитической геометрии, любое преобразование вида (*) всегда можно представить как последовательное исполнение (суперпозицию) простейших преобразований вида А, Б, В и Г.
         Для эффективного использования этих известных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись. Матрицы, для случаев А, Б и В легко строятся и имеют соответственно следующий вид:

                                       

         Для решения задач весьма желательно охватить матричным подходом все четыре простейших преобразования (в том числе и перенос), а, значит, и общее аффинное преобразование. Этого можно достичь путем описания произвольной точки плоскости не двумя координатами, как это было сделано выше, а упорядоченной тройкой чисел.

 Однородные координаты точки

Пусть M – произвольная точка плоскости с координатами x и y, вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел x1, x2, x3, связанными с заданными числами  x и y следующими соотношениями:

                                          
         При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке M(x, y) плоскости ставится в соответствие точка M*(x, y, 1) в пространстве (рис. 3).

         При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование на плоскости. Сравнивая уравнение (*) и нижеследующее, матричное:

Рис. 3

                                            ,

нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, получаются обе формулы (*) и тождество 1=1. Таким образом, сравниваемые записи являются равносильными.

 Аффинные преобразования в пространстве

         Для выполнения пространственных построений, аналогично двумерной задаче, три координаты точки (x, y, z) заменяются четверкой чисел (x, y, z, 1). Это дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах.

         Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Математически все преобразования сводятся к перемножению матриц четвертого порядка. Например, матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j имеет вид:

                                         .

Виды проецирования

Изображение трехмерных объектов на картинной плоскости связано с еще одной геометрической операцией – проецированием при помощи пучка прямых.

В компьютерной графике применяется несколько различных видов проецирования. Наиболее часто используется параллельное и центральное проецирование.

Для получения проекций объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проецирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра пучка. При параллельном проецировании считается, что центр пучка расположен в бесконечности (рис. 4). Математически операция проецирования также сводится к перемножению соответствующих матриц.

Рис. 4

А знаете ли Вы, что:

… в древней Руси главным средством сообщения служили водные пути, и первыми дорожными сооружениями, построенными у нас в стране, были мосты.